선형대수학
3. 일차결합(Linear combination)과 Span
✏️ linear combination V는 벡터공간이고 S는 V의 공집합이 아닌 부분집합이라고 하자. 유한개의 벡터 u1, u2, u3..., un ∈ S와 스칼라 a1, a2, ...,an에 대하여 다음을 만족하는 벡터 v∈V는 S의 일차결합이라고 한다. v=a1u1 + a2u2 + ... + anun 이때 v는 벡터 u1, u2...un의 일차결합이고 a1, a2...,an은 이 일차결합의 계수(coefficient)이다. ✏️ Span Span(S)는 S의 벡터를 사용하여 만든 모든 일차결합의 집합이다. 편의를 위해 span(Ø)={0}으로 정의한다. ✏️ Example 명제의 참과 거짓 판명 (a) 영벡터는 공집합이 아닌 임의의 (벡터에 대한 )집합의 일차결합이다. > True. 일차결합의 정의..
2. 부분공간(Subspace)
✏️ subspace 벡터공간 V의 부분집합 W를 생각하자. W가 V상에서 정의된 덧셉과 스칼라곱에 대해 그 자체로 벡터공간이 된다면 이때 W를 V의 Subspace라고 한다. 모든 벡터공간 V에 대하여 V와 {0}은 부분공간이다. 특히 {0}은 'zero subspace'라고 한다. W가 V의 부분공간이기 위한 필요충분조건은 다음 세가지 조건을 만족하는 것이다. (1) 0 ∈ W (2) 모든 x ∈ W, y ∈ W에 대해서 x+y ∈ W 이다. (덧셈에 대하여 닫혀있다. closed under addition) (3) 모든 c ∈ F와 모든 x ∈ W에 대하여 cx∈ W이다. (스칼라 곱에 대해 닫혀있다. closed under scalar multiplication) ✏️ Example 명제의 참과 ..
1. 벡터공간 (Vector Space)
✏️ 사전정의 지금부터 사용하는 '벡터'라는 단어는 유향성분 벡터가 아닌 벡터공간의 원소를 가리키는 개념으로써 사용한다. 여기서 벡터공간의 field F는 주로 실수집합 R 또는 복소수 집합 C이다. ✏️ vector space field F에서의 벡터공간(vector space) 또는 선형공간(linear space) V는 다음 8가지 공리를 만족하는 두 연산, 합(sum)과 스칼라 곱(product)를 가지는 집합이다. (VS1) 모든 x,y ∈ V에 대하여 x+y = y+x 이다. (덧셈의 교환법칙) (VS2) 모든 x,y,z ∈ V에 대하여 (x+y)+z = x+(y+z) 이다. (덧셈의 결합법칙) (VS3) 모든 x ∈ V에 대하여 x+0 = 0+x = x 인 0∈V가 존재한다. 이 0을 영벡터..