2. 부분공간(Subspace)

✏️ subspace

벡터공간 V의 부분집합 W를 생각하자.

W가 V상에서 정의된 덧셉과 스칼라곱에 대해 그 자체로 벡터공간이 된다면 이때 W를 V의 Subspace라고 한다.

모든 벡터공간 V에 대하여 V와 {0}은 부분공간이다. 특히 {0}은 'zero subspace'라고 한다.

 

W가 V의 부분공간이기 위한 필요충분조건은 다음 세가지 조건을 만족하는 것이다.

(1) 0 ∈ W

(2) 모든 x ∈ W, y ∈ W에 대해서 x+y ∈ W 이다. (덧셈에 대하여 닫혀있다. closed under addition)

(3) 모든 c ∈ F와 모든 x ∈ W에 대하여 cx∈ W이다. (스칼라 곱에 대해 닫혀있다. closed under scalar multiplication)

 

✏️ Example

명제의 참과 거짓 판명

(a) 벡터공간 V의 부분집합 W가 벡터공간이면 W는 V의 부분공간이다.

> False

counter-example:

V=R, W=Q 라고 해보자.

그럼 W는 Q에 대한 벡터공간이지만 V에 대한 벡터공간은 아니다. 따라서 부분공간이 될 수 없다.

 

(b) 공집합은 모든 벡터공간의 부분공간이다.

> False.

모든 벡터공간 V에 대하여 V와 {0}은 부분공간이다. 따라서 공집합은 부분공간일 수 없다.

 

(c) V가 점공간이 아닌 벡터공간이면 V에는 W≠V인 부분공간 W를 포함한다.

> True

W가 점공간이면 된다.(W=0) 모든 벡터공간은 영벡터를 포함한다.

 

(d) 벡터공간 V에서 두 부분집합의 교집합은 항상 V의 부분공간이다.

> True

Suppose that x,y ∈ U∩V.

가정에 의해 x는 U의 벡터이자 V의 벡터이다. y도 마찬가지.x와 y는 둘다 U의 벡터이다.

따라서 subspace의 필요충분조건(2)에 의해 x+y∈ U.동일한 이유로 x+y∈ V 역시 만족한다.

Hence x+y∈ U∩V

이제 subspace의 필요충분조건 (3)의 만족을 확인하기 위해 Let x ∈ U∩V and c∈R.

x ∈ U∩V 이므로 x는 U와 V에 동시에 놓여있다.U와 V가 subspace라는 설정에 의해 U와 V는 스칼라곱에 대해 닫혀있다.

Thus, cx ∈ U and cx ∈V.

따라서 cx ∈ U∩V.

증명 끝.

 

(e) nxn 대각행렬은 0이 아닌 성분의 개수가 n을 초과할 수 없다.

> True.  대각성분을 제외한 모든 성분이 0인 정사각형렬을 대각행렬(diagonal matrix)라고 한다. 따라서 0이 아닌 성분의 개수는 항상 n개 이다.

 

(f) 정사각행렬의 대각합(trace)는 대각성분의 곱이다.

> false. trace의 정의에 따라 trace는 대각성분의 합이다.

 

(g) R^3에서 xy평면을 W={(a1,a2,0): a1,a2 ∈ R}이라 하면 W=R^2이다.

> 이게 왜 false? 나중에 정리하겠음 (isomorphism?)