✏️ 기저(basis)
벡터공간 V와 부분집합 W를 생각하자. (1) W가 일차독립이고, (2) V를 생성하면 V의 기저(basis)라 한다.
* span(Ø)={0}이고, Ø는 일차독립이다. 즉, Ø는 점공간(zero vector space)의 기저이다.
* 의 기본단위벡터 e1,e2,⋯,en는 일차독립이고 을 생성한다는 것을 알고있다. 따라서 이들은 에 대한 기저인데 이것을 표준기저(standard basis)라 한다.
대체정리(Replacement Theorem)
대체정리의 따름정리들은 기저에 관한 수많은 성질들을 보여준자. 대체정리를 이해하는 것은 기저를 손쉽게 다루기 위한 준비운동이다.
이에 대한 증명은 추후에 추가하도록 하겠다.
대체정리는 정성적으로 아래와 같이 말할 수 있다.
(1) 일차독립인 집합은 임의의 생성집합보다 반드시 원소의 수가 같거나 작다.
(2) 일차독립인 집합을 확장하여 반드시 생성집합으로 만들 수 있다.
✏️ 차원(dimension)
- 기저가 유한집합인 벡터공간을 유한차원(finite dimension)이라고 한다.
- V의 기저가 n개의 벡터로 이루어질때, 유일한 자연수 n은 주어진 벡터공간의 차원(dimension)이고, dim(V)라고 표기한다.
- 유한차원이 아닌 벡터공간은 무한차원(infinite dimension)이다.
✏️ 정리
- 벡터공간 V의 부분집합이 기저이기 위해서는 V를 생성하고 일차독립이어야한다.
- V의 어떤 기저가 유한집합이면 V의 모든 기저는 이 집합과 같은 개수의 벡터를 포함한다. 이 자연수(개수)는 V의 차원이고 V는 유한차원 벡터공간이다.
- 벡터공간 V의 차원이 n이면 V의 모든 기저는 반드시 n개의 벡터로 이루어져있다.
- V의 일차독립인 부분집합은 n개를 초과하는 벡터를 가질 수 없으며, 적절히 몇개의 벡터를 추가하여 기저로 확장할 수 있다.
✏️ Example(작성중)
명제의 참과 거짓 판명
(a) 점공간은 기저가 없다.
> False.
span(Ø)={0}이고, Ø는 일차독립이다. 즉, Ø는 점공간(zero vector space)의 기저이다.
(b) 유한집합이 생성한 벡터공간에는 기저가 있다.
> True
(c) 모든 벡터의 기저는 유한집합이다.
> False. P(F)는 infinite basis를 가진다.
(d) 벡터공간은 두 개 이상의 기저를 가질 수 없다.
> False.
(e) 벡터공간의 어떤 기저가 유한 집합이면 모든 기저의 원소의 개수는 같다.
> True.
벡터공간 V의 차원이 n이면 V의 모든 기저는 반드시 n개의 벡터로 이루어져있다.
(f) Pn(F)의 차원은 N이다.
> False. n+1이다.
(g) Mmxn(F)의 차원은 m+n이다.
> False. mn이다.
(h) 유한차원 벡터공간 V와 부분집합 S1, S2를 생각하자. S1이 일차독립이고 S2가 V를 생성하면 S1의 벡터의 개수는 S2를 구성하는 벡터의 개수를 초과할 수 없다.
(i) 집합 S가 벡터공간 V의 생성집합이면, V의 모든 벡터는 S의 일차결합으로 유일하게 표현할 수 있다.
(j) 유한차원 벡터공간의 부분공간은 유한차원이다.
(k) n차원 벡터공간 V를 생각하자. 차원이 0인 (V의) 부분공간과 차원이 n인 (V의) 부분공간은 각각 유일하다.
(l) n차원 벡터공간 V와 n개의 벡터를 가진 부분집합 S를 생각하자. S가 일차독립이기 위한 필요충분조건은 S가 V를 생성하는 것이다.
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