선형대수학
5. 기저와 차원
✏️ 기저(basis) 벡터공간 V와 부분집합 W를 생각하자. (1) W가 일차독립이고, (2) V를 생성하면 V의 기저(basis)라 한다. * span(Ø)={0}이고, Ø는 일차독립이다. 즉, Ø는 점공간(zero vector space)의 기저이다. * R^n의 기본단위벡터 e1,e2,⋯,ene1,e2,⋯,en는 일차독립이고 R^n을 생성한다는 것을 알고있다. 따라서 이들은 R^n에 대한 기저인데 이것을 표준기저(standard basis)라 한다. 대체정리(Replacement Theorem) 대체정리의 따름정리들은 기저에 관한 수많은 성질들을 보여준자. 대체정리를 이해하는 것은 기저를 손쉽게 다루기 위한 준비운동이다. 이에 대한 증명은 추후에 추가하도록 하겠다. 대체정리는 정성적으로 아래와 같..
4. 일차종속과 일차독립
✏️ 일차종속(Linearly dependent)과 일차독립(Linearly independent) 벡터공간 V의 부분집합 S에 대하여 a1u1+a2u2+...+anun=0을 만족하는 유한개의 서로 다른 벡터 u1, u2...un ∈과 적어도 하나는 0이 아닌 스칼라 a1, a2,...,an이 존재하면 집합 S는 일차종속이라한다. 이때 S의 벡터 또한 일차종속이다. 벡터공간의 부분집합 S가 일차종속이 아니면 일차독립이다. 이때 S의 벡터 또한 일차독립이다. ✏️ Example(작성중) 1. 다음 정리를 증명하라. " V는 벡터공간이고 S1⊆S2⊆V이다. S1이 일차종속이면 S2도 일차종속이다." 2. 명제의 참과 거짓 판명 (a) 집합 S가 일차종속이면 S의 모든 벡터는 (S의) 다른 벡터의 일차결합이다..
3. 일차결합(Linear combination)과 Span
✏️ linear combination V는 벡터공간이고 S는 V의 공집합이 아닌 부분집합이라고 하자. 유한개의 벡터 u1, u2, u3..., un ∈ S와 스칼라 a1, a2, ...,an에 대하여 다음을 만족하는 벡터 v∈V는 S의 일차결합이라고 한다. v=a1u1 + a2u2 + ... + anun 이때 v는 벡터 u1, u2...un의 일차결합이고 a1, a2...,an은 이 일차결합의 계수(coefficient)이다. ✏️ Span Span(S)는 S의 벡터를 사용하여 만든 모든 일차결합의 집합이다. 편의를 위해 span(Ø)={0}으로 정의한다. ✏️ Example 명제의 참과 거짓 판명 (a) 영벡터는 공집합이 아닌 임의의 (벡터에 대한 )집합의 일차결합이다. > True. 일차결합의 정의..
2. 부분공간(Subspace)
✏️ subspace 벡터공간 V의 부분집합 W를 생각하자. W가 V상에서 정의된 덧셉과 스칼라곱에 대해 그 자체로 벡터공간이 된다면 이때 W를 V의 Subspace라고 한다. 모든 벡터공간 V에 대하여 V와 {0}은 부분공간이다. 특히 {0}은 'zero subspace'라고 한다. W가 V의 부분공간이기 위한 필요충분조건은 다음 세가지 조건을 만족하는 것이다. (1) 0 ∈ W (2) 모든 x ∈ W, y ∈ W에 대해서 x+y ∈ W 이다. (덧셈에 대하여 닫혀있다. closed under addition) (3) 모든 c ∈ F와 모든 x ∈ W에 대하여 cx∈ W이다. (스칼라 곱에 대해 닫혀있다. closed under scalar multiplication) ✏️ Example 명제의 참과 ..
1. 벡터공간 (Vector Space)
✏️ 사전정의 지금부터 사용하는 '벡터'라는 단어는 유향성분 벡터가 아닌 벡터공간의 원소를 가리키는 개념으로써 사용한다. 여기서 벡터공간의 field F는 주로 실수집합 R 또는 복소수 집합 C이다. ✏️ vector space field F에서의 벡터공간(vector space) 또는 선형공간(linear space) V는 다음 8가지 공리를 만족하는 두 연산, 합(sum)과 스칼라 곱(product)를 가지는 집합이다. (VS1) 모든 x,y ∈ V에 대하여 x+y = y+x 이다. (덧셈의 교환법칙) (VS2) 모든 x,y,z ∈ V에 대하여 (x+y)+z = x+(y+z) 이다. (덧셈의 결합법칙) (VS3) 모든 x ∈ V에 대하여 x+0 = 0+x = x 인 0∈V가 존재한다. 이 0을 영벡터..