4. 일차종속과 일차독립

✏️ 일차종속(Linearly dependent)과 일차독립(Linearly independent)

• 벡터공간 V의 부분집합 S에 대하여 a1u1+a2u2+...+anun=0을 만족하는 유한개의 서로 다른 벡터 u1, u2...un ∈과 적어도 하나는 0이 아닌 스칼라 a1, a2,...,an이 존재하면 집합 S는 일차종속이라한다. 이때 S의 벡터 또한 일차종속이다.
• 벡터공간의 부분집합 S가 일차종속이 아니면 일차독립이다. 이때 S의 벡터 또한 일차독립이다.

 

✏️ Example(작성중)

1. 다음 정리를 증명하라.

" V는 벡터공간이고 S1⊆S2⊆V이다. S1이 일차종속이면 S2도 일차종속이다."

 

2. 명제의 참과 거짓 판명

(a) 집합 S가 일차종속이면 S의 모든 벡터는 (S의) 다른 벡터의 일차결합이다.

(b) 영벡터를 포함하는 임의의 집합은 일차종속이다.

 

(c) 공집합은 일차종속이다.

> True.

{0,0,0,0}을 보자. 0+0+0=0.

 

(d) 일차종속인 집합의 부분집합은 일차종속이다.

> False

{(1,0),(2,0),(0,1)}은 일차종속이다. (2,0)=2(1,0)+0(0,1)로 표현 가능.

하지만 {(1,0),(0,1)}은 일차 독립이다.

 

(e) 일차독립인 집합의 부분집합은 일차독립이다.

> 

 

(f) a1x1 + a2x2 + ... + anxn=0이고, 벡터 x1, x2, ..., xn 이 일차독립이면 모든 스칼라 ai는 0이다.

> Truex1,x2...xn이 일차독립이면 a1x1 + a2x2 + ... + anxn=0 도 일차독립이다. 그러기 위해선 ai에 0이 아닌 다른 수가 들어갈 수 없다.

 

일과복귀전에 뒤쪽 내용을 정리하는게 더 급해서 나머지는 추후에 정리하겠다.