3. 일차결합(Linear combination)과 Span

✏️ linear combination

V는 벡터공간이고 S는 V의 공집합이 아닌 부분집합이라고 하자. 유한개의 벡터 u1, u2, u3..., un ∈ S와 스칼라 a1, a2, ...,an에 대하여 다음을 만족하는 벡터 v∈V는 S의 일차결합이라고 한다.

v=a1u1 + a2u2 + ... + anun

이때 v는 벡터 u1, u2...un의 일차결합이고 a1, a2...,an은 이 일차결합의 계수(coefficient)이다.

 

✏️ Span

Span(S)는 S의 벡터를 사용하여 만든 모든 일차결합의 집합이다. 편의를 위해 span(Ø)={0}으로 정의한다.

 

✏️ Example

명제의 참과 거짓 판명

(a) 영벡터는 공집합이 아닌 임의의 (벡터에 대한 )집합의 일차결합이다.

> True.

일차결합의 정의에 coefficient가 0이면 안된다는 소리는 없다.

계수를 0으로 하는 일차결합이라면 공집합이 아니어도 영벡터가 만들어진다.

 

(b) Ø의 생성공간(Span)은 Ø다.

> False.

정의에 의해 span(Ø)={0}이다.

 

(c) 벡터공간 V의 부분집합 S에 대하여 span(S)는 S를 포함하는 V의 모든 부분공간의 교집합이다.

> True.

S가 벡터공간 V의 부분집합이면,

Span(S)는 S를 포함하는 V의 부분공간이다.

그리고 Span(S)는 S를 포함하는 모든 부분공간의 부분집합이다.

따라서 span(S)는 V의 모든 부분공간의 교집합이다.

 

(d) 연립일차방정식을 풀 때, 임의의 상수를 방정식에 곱해도 해집합은 바뀌지 않는다.

> False. 0을 곱하는 경우를 생각해보자

 

(e) 연립일차방정식을 풀 때, 한 방정식에 임의의 스칼라를 곱하여 다른 방정식에 더해도 해집합은 바뀌지 않는다.

> True. 자명하다

 

(f) 모든 연립일차방정식에는 해가 있다.

> False.

counter example: (1) x+y=0, (2) 2x+2y=3.